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Emanuele Paolini

La matematica degli origami

L'origami è l'antica arte giapponese di piegare la carta. Tutti noi abbiamo probabilmente sperimentato questa arte a scuola, con la costruzione degli aeroplanini di carta: questa attività non era forse molto apprezzata dai nostri insegnanti, ma vedremo che in realtà nasconde diversi aspetti matematici che potrebbero essere approfonditi.
La bellezza degli origami è dovuta principalmente a quell'aspetto magico per cui un semplice quadrato (il foglio di carta) se opportunamente disposto nello spazio, può cambiare aspetto, assumendo le forme più diverse e inaspettate. Sebbene gli origami siano per lo più un prodotto artistico, essi da sempre hanno ricevuto molta attenzione da parte dei matematici. L'interesse infatti è quello di cercare di capire e formalizzare le regole a cui gli origami sono implicitamente sottoposti. Una volta capite le regole del gioco, la s fida sarà poi quella di riuscire ad applicare queste regole per costruire nuove forme che rispondano a determinate richieste.
Dal punto di vista matematico, un origami non è altro che una particolare classe di super cie. Ricordiamo che una super- ficie, è la deformazione di un oggetto bidimensionale nello spazio tridimensionale. In eff etti un origami non è altro che la deformazione nello spazio, del rettangolo (o di qualunque altra fi gura geometrica) che rappresenta il foglio di carta. La carta, però, ha delle proprietà fisiche che in qualche modo vincolano il tipo di super fici che possiamo ottenere.
In particolare la carta non è elastica come potrebbe essere una membrana o malleabile come potrebbe essere una lamina di metallo. Questa rigidità della carta può essere facilmente espressa mediante una proprietà geometrica: se disegnamo una qualunque linea di una certa lunghezza su di un foglio di carta, e poi pieghiamo o deformiamo il foglio, la lunghezza della linea non potrà mai cambiare.
Matematicamente questo concetto si esprime dicendo che la super ficie rappresentata da un origami è una immersione isometrica di un rettangolo bidimensionale nello spazio tridimensionale.
Dal punto di vista matematico, le pieghe del foglio di carta sono linee singolari, in cui non è possibile calcolare il piano tangente alla super cie. Tutti gli altri punti vengono chiamati regolari.

Fiugura 1: La gru è il più classico degli origami. Matematicamente si rappresenta come una immersione di un quadrato nello spazio.

Possiamo allora preliminarmente considerare quegli origami che non hanno pieghe e che sono quindi, dal punto di vista matematico, completamente regolari. Ad esempio sappiamo tutti come arrotolare un foglio per ottenere una super ficie cilindrica (a mo' di cannocchiale) o una super ficie conica: queste deformazioni del foglio non creano pieghe. La nostra intuizione ci dice però che non è possibile ottenere una super ficie sferica. Questa intuizione è confermata da un corrispondente risultato matematico per cui le superfi ci che possiamo ottenere incurvando un foglio di carta devono avere curvatura gaussiana nulla: il cilindro, il cono e in generale tutte le superfi ci rigate hanno questa proprietà, ma non la sfera. Ci possiamo allora chiedere se è possibile incurvare un foglio di carta, senza creare pieghe, in modo che possa essere interamente racchiuso in una sferetta di raggio arbitrariamente piccolo. In base ad un risultato sulle immersioni isometriche del premio nobel John Nash (il teorema di Nash-Kuiper) possiamo a ffermare che, sorprendentemente, la risposta è a ffermativa.
La possibilità di incurvare la carta viene raramente utilizzata negli origami classici. Ma ancora più sorprendente è l'osservazione che incurvando la superfi cie del foglio possiamo anche sviluppare pieghe lungo linee curve. Si veda la figura 2, dove questa possibilità viene utilizzata per design.


Figura 2: Design di carrozzerie che possono essere modellate come un origami. La super ficie è incurvata nello spazio e anche le pieghe seguono linee curve (Kilian M., Floery S., Chen Z., Mitra N., She er A., Pottmann H., Curve Folding ACM Siggraph, 2008)

Per rientrare nella teoria più classica degli origami, dobbiamo considerare quelli che si chiamano origami piatti. Questa categoria, che comprende la gran parte dei modelli, è composta da quegli origami che risultano schiacciati in un piano. Questa ulteriore richiesta risulta essere un vincolo molto stringente che ci porta ad ottenere delle interessanti proprietà. In primo luogo possiamo dimostrare che gli origami piatti sono formati da pieghe rettilinee che suddividono il foglio di carta in poligoni. Questa suddivisione risulta essere 2-colorabile ovvero è possibile colorare ogni poligono di rosso o di blu, in modo che due poligoni che condividono un lato abbiano sempre colore diverso. Inoltre possiamo veri ficare che in ogni vertice (cioè nei punti in cui si incontrano diverse pieghe) la somma degli angoli colorati di rosso è uguale alla somma degli angoli colorati di blu.


Figura 3: Le regioni individuate dalle pieghe usate nella costruzione della gru-origami possono essere colorate utilizzando due soli colori. In ogni vertice (come quello evidenziato dal circoletto) la somma degli angoli rossi è uguale alla somma degli angoli blu.

La trattazione matematica degli origami piatti ci permette di andare oltre, e considerare origami ideali che non potremmo costruire concretamente. Ad esempio possiamo considerare gli origami frattali: questi sono origami composti da infi nite pieghe che si ripetono in maniera auto-simile. Questo tipo di origami possono avere delle proprietà che con un numero finito di pieghe non sarebbe possibile ottenere. Ad esempio è teoricamente possibile piegare un foglio di carta in modo tale che un lato del foglio venga collassato in un singolo punto.
L'interesse matematico per questo tipo di costruzioni non si limita alle due dimensioni del foglio di carta ma, anzi, è più rilevante per le costruzioni in tre dimensioni. In questo caso però non possiamo più immaginare super fici formate da un foglio di carta che viene piegato lungo alcune linee, ma dovremo pensare ad un oggetto solido, ad esempio un cubo, che viene piegato (attraverso una ipotetica quarta dimensione) lungo dei piani.

Figura 4: Diagrammi di pieghe di origami frattali. Il primo di questi permette di piegare un quadrato in modo che tutti i lati vengano collassati in un singolo punto (Dacorogna-Marcellini-Paolini: "origami and PDEs", Notices of AMS 2010).

Possiamo quindi estendere la definizione matematica di origami agli origami tridimensionali e più in generale ad origami n-dimensionali. In Figura 5 possiamo vedere come si può suddividere un parallelepipedo in infi nite parti tra loro simili, in modo opportuno  tale che l'origami piatto risultante assuma la forma di una spirale tramite la quale un lato del parallelepipedo viene collassato, dopo in finiti avvolgimenti, in un singolo punto.



Figura 5: La suddivisione frattale di un parallelepipedo in in finite parti, ognuna delle quali simile all'originale. Ogni elemento della suddivisione subisce una serie di pieghe lungo opportuni piani. Questo nel complesso genera un oggetto con una forma a spirale.