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Michele Emmer

Il mondo fantastico di Tor' Bled-Nam

"Immaginiamo di aver compiuto un lungo viaggio verso un mondo molto lontano. Chiameremo questo mondo Tor’ Bled-Nam. La nostra strumentazione ha captato un segnale che ora è ben evidente sullo schermo che abbiamo di fronte. L’immagine si mette a fuoco e osserviamo. Che cosa potrebbe essere? È un insetto dall’aspetto inconsueto? Forse è invece un lago dai riflessi scuri, in cui si immettono tanti ruscelli montani? Oppure potrebbe essere una grande città aliena dalla forma curiosa con strade che si dipartono in diverse direzioni verso piccole città e villaggi poco distanti?
Può essere un’isola – e allora proviamo a cercare qual è il continente più vicino al quale possa essere associata. Per far questo zoomiamo all’indietro, riducendo linearmente di un fattore di circa quindici l’ingrandimento operato dalla nostra strumentazione. Guarda! L’intero mondo comincia ad essere visibile...
Possiamo esplorare questo straordinario mondo di Tor’ Bled-Nam a nostro piacimento, aumentando via via il grado di ingrandimento ottenibile con il nostro strumento. Scopriamo una varietà infinita: non si vedono due zone del tutto identiche – tuttavia vi è un qualcosa di generale cui ci abituiamo presto... Che cosa è questa strana, varia e meravigliosamente intricata terra in cui siamo capitati? Senza dubbio molti dei lettori già la conosceranno... Questo mondo non è altro che un pezzo di matematica astratta – ciò che vediamo è noto come l’"insieme di Mandelbrot.”
Il viaggio nella terra di Tor’ Bled-Nam è l’inizio del capitolo che Roger Penrose dedica al rapporto tra matematica e realtà nel volume The Emperor’s New Mind (La mente nuova dell’Imperatore, Rizzoli, 2000). Potrebbe sembrare paradossale che l’insieme di Mandelbrot sia il primo esempio che Penrose porta a conferma della realtà platonica dei concetti matematici: degli oggetti che si possono vedere solo sul terminale video di un computer!
Per Penrose invece l’insieme di Mandelbrot è un esempio stupefacente di come il pensiero umano venga guidato verso una verità eterna che ha una sua propria realtà e che solo parzialmente si rivela a qualcuno di noi.
L’insieme di Mandelbrot ha una struttura così meravigliosamente elaborata che non può essere stata inventata da una singola persona, né disegnata da un gruppo di matematici. Lo stesso Benoît Mandelbrot, il matematico polacco-americano che per primo studiò l’insieme che porta il suo nome, non aveva idea di quale complessità vi fosse connessa, benché pensasse di essere sulle tracce di qualcosa di molto interessante. Tanto è vero che, quando le prime immagini elaborate dal computer iniziarono a formarsi, ebbe l’impressione che la struttura così strana che osservava fosse dovuta a un cattivo funzionamento dell’elaboratore!

Insieme di Mandelbrot.

Solo in seguito si convinse che la complessità era propria dell’insieme che stava osservando.
Aggiunge Penrose:
"I dettagli completi della complessità della struttura dell’insieme di Mandelbrot non possono in realtà essere recepiti del tutto da nessuno di noi, né possono essere mostrati nella loro interezza da nessun computer. Questa struttura non sembrerebbe un parto delle nostre menti, ma un’entità con una sua propria realtà... Il computer è stato usato essenzialmente nello stesso modo in cui i fisici sperimentali utilizzano un’apparecchiatura per esplorare la struttura del mondo fisico. L’insieme di Mandelbrot non è un’invenzione del pensiero umano; è stata una scoperta. Come il monte Everest, l’insieme di Mandelbrot esiste di per sé!"
Creazione o scoperta che sia, dell’insieme di Mandelbrot e della teoria dei frattali sappiamo chi è stato lo scopritore o l’inventore: Benoît Mandelbrot, appunto, che ha coniato la parola fractal (in italiano frattale) nel 1975. Un paragrafo del suo volume Les objets fractals. Forme, hasard et dimension (Gli oggetti frattali, Einaudi, Torino, 2000) è dedicato all’etimologia della parola.
“La posso chiarire con sicurezza, dato che sono io il responsabile dell’invenzione del nome. Fractal viene dall'aggettivo latino fractus, che ha la stessa radice di frazione e frammento, e significa “irregolare o frammentato”; è connesso con il verbo frangere che significa rompere."
Mandelbrot, allora matematico dell’IBM, cercava di caratterizzare una classe di oggetti che si presentano in settori diversi della matematica e in alcune sue applicazioni.
Nel 1984, ripensando alle prime esperienze con la geometria frattale, Mandelbrot osservava:
“Perché spesso la geometria viene descritta come fredda e arida? Un motivo è la sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una costa o di un albero. Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono circoli e gli argini non sono regolari, nemmeno la luce viaggia secondo una linea retta... La natura non rivela semplicemente un grado più alto ma un livello del tutto diverso di complessità.”
Le proprietà principali degli oggetti frattali sono di essere autosimili e di avere dimensione frazionaria o frattale, una dimensione cioè non intera. Un punto ha dimensione zero, un segmento o una curva hanno dimensione uno, una superficie due e così via. I matematici hanno scoperto che possono esistere oggetti matematici che hanno una dimensione compresa, per esempio, tra uno e due: una curva normale ha dimensione uno, è una linea; ma se questa curva si avvolge e ha molti frastagliamenti – come il bordo di una parte della costa meridionale della Gran Bretagna – allora ha una dimensione più grande di uno, pur restando una linea e dunque con dimensione minore di due.
Una figura viene detta autosimile se può essere suddivisa in un gran numero di parti ognuna delle quali è una esatta replica in scala ridotta dell’originale. In realtà l’autosimiglianza va pensata più come una proprietà approssimata che non esatta.
Esempi che hanno questa proprietà sono noti da più di cento anni, come la curva fiocco di neve, che è la frontiera (il contorno) della figura successiva. La dimensione frazionaria è l’altra proprietà che genera le infinite frastagliature che caratterizzano i frattali.

Curva fiocco di neve.

Per esempio, la dimensione frattale della curva fiocco di neve è log4/log3 = 1,26.
Poiché la geometria frattale ha prodotto tante nuove immagini, coloro che le hanno create non potevano non invadere anche il terreno dell’arte. Nel realizzare un volume come The Beauty of Fractals, (La bellezza dei frattali: immagini di sistemi dinamici complessi, Bollati Boringhieri, Torino, 1987) Peitgen e Richter hanno voluto non solo presentare la teoria matematica ma anche utilizzare idee matematiche come illustrazione – se non addirittura come pretesto – della loro attività creatrice, non tanto come matematici ma come artisti. Nell’introduzione del libro si richiama in modo esplicito la possibilità di una ricongiunzione tra il linguaggio scientifico e quello artistico:
“Scienza e arte: due modi complementari di porsi in relazione con la realtà naturale, analitico il primo, intuitivo il secondo. Considerate agli antipodi l’una dell’altra, talvolta inconciliabili, sono intimamente legate; nel suo sforzo di risolvere tutta la complessità dei fenomeni in poche leggi fondamentali, l’uomo di pensiero è lui stesso un visionario, e non meno di chi, amante del bello, si immerge nella ricchezza delle forme sentendosi parte dell’eterno divenire.”
Aggiungeva Mandelbrot nell’articolo contenuto nel volume:
“Credo di poter affermare che il contributo della geometria frattale alla scienza e all’arte è assolutamente originale.”
Mandelbrot stesso ha più volte ribadito l’importanza dei frattali nell’arte:
“Possiamo affermare che la geometria frattale ha dato luogo a una nuova categoria di arte, vicina all’idea dell’arte per l’arte, un’arte per la scienza (e per la matematica). L’origine dell’arte frattale risiede nel riconoscere come delle formule matematiche molto semplici, che sembrano del tutto aride, possano invece essere molto ricche, per così dire, di una enorme complessità grafica. Il gusto dell’artista può intervenire solo nella scelta delle formule, nella loro sistemazione e resa visiva. Di conseguenza l’arte frattale sembra non rientrare nelle usuali categorie di invenzione, scoperta e creatività.
Oggi possiamo dire che a fianco della bellezza astratta della teoria c’è anche la bellezza plastica della curva, una bellezza stupefacente. Dunque dentro questa matematica, vecchia di cento anni, molto elegante dal punto di vista formale, molto bella per gli addetti ai lavori, c’era anche una bellezza fisica, accessibile a chiunque... Facendo intervenire l’occhio e la mano nella matematica, non soltanto abbiamo ritrovato la bellezza antica, che resta intatta, ma abbiamo scoperto una bellezza nuova, nascosta e straordinaria... Chi si occupa soltanto delle applicazioni pratiche può forse avere la tendenza a non insistere troppo sul lato artistico, perché preferisce trincerarsi dietro i tecnicismi propri delle applicazioni pratiche. Ma perché il matematico rigoroso dovrebbe aver paura della bellezza?”


Benoît Mandelbrot era nato a Varsavia il 20 novembre 1924, è morto a Cambridge, Massachusetts il 14 ottobre 2010. Nel 1936 la famiglia si trasferì in Francia a Parigi dove iniziò a studiare matematica, qui suo zio Szolem Mandelbrojt era un noto matematico al Collége de France. Nel 1993 gli è stato conferito il prestigioso Premio Wolf per la Fisica, "per aver trasformato la nostra visione della natura". Nel ricordo pubblicato su The New York Times il 16 ottobre 2010 si ricordava che: “Mandelbrot aveva contribuito a ricerche in geologia, medicina, cosmologia ed ingegneria. Utilizzando la teoria dei frattali per spiegare gli ammassi delle galassie e analizzare le teorie finanziarie, molto spesso tra il sospetto degli addetti ai diversi settori scientifici." In Italia, forse non mi sono accorto che di altri articoli, brevi trafiletti. A chi interessa la morte di un matematico famoso nel mondo. Si sa, noi abbiamo ben altre cose di cui parlare sui giornali per pagine e pagine. Il più interessante ricordo di Mandelbrot è stato scritto nel sito della rivista Leonardo, la più importante rivista di arte, scienza e tecnologia edita dalla MIT Press, dal cugino, il fisico Jacques Mandelbrojt: “Era uno scienziato estremamente originale che con l’invenzione dei frattali ha aperto una nuova branca della matematica con applicazioni in diverse branche della scienza e dell’arte. Era Sterling Professor Emeritus di scienze matematiche alla università di Yale e IBM Fellow Emeritus presso il IBM T.J. Watson Research Center. Nelle scienze come Benoit Mandelbrot ha più volte sottolineato, sia il matematico Henri Poincaré che il fisico Jean Perrin hanno messo in luce il fatto che molti fenomeni fondamentali non possono essere descritti in maniera puntuale data la loro complessità. I frattali sono un framework appropriato per questi fenomeni… I frattali hanno due domini differenti nell’arte: l’arte tradizionale che può essere descritta in termini di frattali come ha messo in luce Renè Huyghe nel suo libro Formes et Forces, Paris, Flammarion, 1971 e arte che è creata per essere frattale, usualmente utilizzando dei computer. Per concludere vorrei suggerire che l'aspetto universale dei frattali potrebbero corrispondere al fatto che posso in modo inconscio implicare che la piccola parte dell’universo che noi siamo, è una immagine dell’intero universo, in altre parole che siamo un microcosmo.”
Penso che Benoit Mandelbrot sarebbe stato contento di questa frase di suo cugino.
PS: se non l’avete capito, leggete al contrario Tor’ Bled-Nam.