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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

DI ALFIO BORZÌ E MELANIE WOGRIN

settembre 2009, pp.144, euro 15.00, isbn 978 88 86977 63 0

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Un libro non consueto sulle equazioni differenziali ordinarie è questo, scritto da Alfio Borzi e Melanie Wogrin; un libro di moderna concezione che potrebbe diventare un classico. Gli studenti di ingegneria e di scienze naturali possono trovarvi tutto quello che serve sulle equazioni differenziali ordinarie. D'altro canto, per i docenti questo testo rappresenta un ausilio didattico che tiene conto della nuova struttura didattica universitaria: per la laurea specialistica, il libro fornisce il materiale didattico necessario per un corso di quattro ore settimanali, mentre i primi sei capitoli possono soddisfare le esigenze di un corso per la laurea triennale.
Da oltre due secoli, le equazioni differenziali ordinarie costituiscono il fondamento teorico-quantitativo delle scienze naturali e dell'ingegneria. Esse sono alla base della modellazione dei fenomeni naturali e dei dispositivi e delle strutture pensate e costruite nel corso del nostro sviluppo tecnologico. La lista degli esempi si estende a dismisura e include gran parte della fisica, chimica, astronomia, biologia, medicina, fisiologia, economia, sociologia, linguistica; e inoltre l'ingegneria delle telecomunicazioni, dell'automazione, dell'elettronica, delle costruzioni civili, dell'informatica, ecc.. Questo spiega perché gli Autori vedano nelle equazioni differenziali ordinarie i "metodi matematici" per eccellenza e desiderino restituire visibilità a questo settore della matematica applicata che solitamente viene ridotta e relegata a pochi capitoli dell'analisi matematica. Quindi questo testo è moderno nella struttura e nello scopo e inoltre nella scelta degli argomenti trattati.
Dopo una chiara introduzione nel primo capitolo, lo Studente e il Docente vengono positivamente sorpresi con un capitolo sulla teoria qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie introducendo concetti che solitamente vengono discussi solo in testi anglosassoni su sistemi dinamici. Il capitolo tre è dedicato alle metodologie di soluzione di vari tipi di equazioni differenziali ordinarie e include vari esempi svolti con chiarezza. Il capitolo quattro presenta in modo esaustivo i fondamenti della teoria. In questo capitolo, gli Autori riescono a fornire una via semplice e chiara alla dimostrazione dell'esistenza e unicità di soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie, introducendo il teorema di Weissinger e seguendo il modo didattico dei testi di lingua tedesca. Nel capitolo cinque e nel capitolo sei vengono discussi in dettaglio sistemi di equazioni differenziali ordinarie ed equazioni differenziali ordinarie di ordine superiore. In questi capitoli si sottolinea la difficoltà nel risolvere problemi a coefficienti variabili e si discutono casi speciali e le relative tecniche di soluzione. A questo scopo, viene anche introdotta la trasformata di Laplace. Nel capitolo sette si introduce e analizza il concetto di stabilità delle soluzioni. Questo capitolo è fondamentale nelle applicazioni. La classificazione geometrica dei vari tipi di soluzione che qui viene data è di grande ausilio per comprendere il comportamento delle soluzioni dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie quando questi sono soggetti a perturbazioni. Diventa quindi naturale trovare nel prossimo capitolo una introduzione chiara ed elegante sui metodi di controllo di sistemi dinamici, argomento questo di grande attualità in applicazioni industriali, in medicina, ecc.. Il nono capitolo è dedicato alla teoria dei problemi di Sturm-Liouville al contorno e agli autovalori e fornisce uno spunto per illustrare equazioni alle derivate parziali. Infine, il capitolo dieci descrive in maniera accurata gli aspetti fondamentali teorico-pratici di metodi di soluzione numerica, incluso i metodi di predizione-correzione e il metodo di shooting. Una lista di riferimenti bibliografici completa il testo.